[Bài số 1] Giải tích 1

maxresdefault

Dưới đây là một số kiến thức trong môn Giải tích I (tại trường Đại học Bách Khoa Hà Nội) được tổng hợp lại cho các bạn theo học tại lớp Kèm Đại số và Giải tích I. Chúc các bạn học tập tốt, sức khoẻ và thành công.

Một số chú ý quan trọng

1. Các dạng giới hạn vô định: \dfrac{0}{0}, \dfrac{\infty}{\infty}, \infty - \infty, 0.\infty , 1^{\infty}, 0^0, \infty^0

2. Dãy vô cùng bé (VCB) tương đương khi x\rightarrow 0

x \sim \sin{x} \sim \tan{x} \sim \arcsin{x} \sim \arctan{x} \sim e^x-1 \sim \ln{(x+1)}

3. Một số công thức tính tích phân

  • f(x) liên tục trên khoảng xét

\int_{a}^{b} {f(x)dx} = \int_{a}^{b} {f(a+b-x)dx}

  • f(x) liên tục trên khoảng xét và f(x) là hàm chẵn, thì

\int_{-a}^{a} {f(x)dx} = 2 \int_{0}^{a} {f(x)dx}

  • f(x) liên tục trên khoảng xét và f(x) là hàm lẻ, thì

\int_{-a}^{a} {f(x)dx} = 0

  • f(x) liên tục trên khoảng xét  f(a+b-x)=f(x) thì

\int_{a}^{b} {xf(x)dx} = \dfrac{a+b}{2} \int_{a}^{b} {f(x)dx}

  • f(x) liên tục trên khoảng xét

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} {f(\sin{x})dx} = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} {f(\cos{x})dx}

  • f(x) liên tục trên khoảng xét

\int_{0}^{\pi} xf(\sin{x})dx = \dfrac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi} f(\sin{x})dx

Bài tập 1. Tìm các giới hạn sau:

1.  \lim_{x\rightarrow + \infty} x\left(\dfrac{\pi}{4}-\arctan{\dfrac{x}{x+1}} \right)

2. \lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{(1-4^x)\ln{(1+2x)}}{x^2+2x^3}

3. \lim_{x\rightarrow 0} \dfrac{\sqrt{1+\sin{x}}-\sqrt{1+x}}{x\cos{2x}\sin^2{x}}

3. \lim_{x\rightarrow +\infty} \left(\sqrt[5]{x^5+3x^4} - \sqrt[4]{x^4-x^3}\right)

4. \lim_{x\rightarrow \dfrac{\pi}{2}}\left(1-\sin{x} \right)^{\cot{x}}

5. \lim_{x\rightarrow 0}\left(\dfrac{\sin{x}}{x} \right)^{\dfrac{1}{x^2}}

6. \lim_{x\rightarrow 0}\left(\dfrac{2-x}{2x\ln{(1+x)}} -\dfrac{1}{x^2}\right)

7. \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{\cos{2(x+h)}-2\cos{2x}+\cos{2(x-h)}}{h^2}

8. \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\int_{0}^{x^3}\tan{t}dt}{x^2\ln{(1+x^4)}}

9. \lim_{x\rightarrow 0}\left( \dfrac{2}{\pi}\arccos{x}\right)^{\dfrac{1}{x}}

Bài tập 2. Tìm giới hạn sau:

1. \lim_{n\rightarrow +\infty} \dfrac{1}{n}\left(\sin{\dfrac{\pi}{n}}+\sin{\dfrac{2\pi}{n}} + ... + \sin{\dfrac{n-1}{n}\pi} \right)

2. \lim_{n\rightarrow +\infty}\left[\dfrac{1^2}{2^3+n^3}+\dfrac{2^2}{4^3+n^3} + ... + \dfrac{k^2}{(2k)^3+n^3}+ ... + \dfrac{n^2}{(2n)^3+n^3} \right]

3. \lim_{n\rightarrow +\infty} \dfrac{1}{n^2}\left(\sqrt{2n^2+1^2} +\sqrt{2n^2+2^2} + ... + \sqrt{2n^2+n^2} \right)

4. \lim_{n\rightarrow + \infty} \sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n}\sin{\left(\dfrac{n+2k}{n}\right)}

5. \lim_{n\rightarrow +\infty} \left[ \dfrac{3}{n} \left(1+\sqrt{\dfrac{n}{n+3}} + \sqrt{\dfrac{n}{n+6}} + ... + \sqrt{\dfrac{n}{n+3(n-1)}}\right)\right]

Bài tập 3. Cho hàm số f(x) = \ln{(x+1)} .

1. Chứng minh với mọi x>0 , tồn tại duy nhất số thực c thoả mãn điều kiện f(x)=xf'(c) mà ta kí hiệu là c(x) .

2. Tìm \lim_{x\rightarrow 0^{+}} {\dfrac{c(x)}{x}} .

Bài tập 4. Chứng minh rằng hàm số sau liên tục và khả vi tại điểm x = 0 .

f(x) =\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{e^x-1} (x\neq 0) \\ \\ \dfrac{1}{2} (x=0) \end{matrix} \right.

Bài tập 5. Tìm nguyên hàm của:

1. \int {\dfrac{dx}{\sqrt{x^2+1}-x}}

2. \int {\sin{(\ln{x})}} dx

3. \int {\dfrac{dx}{\cos^4 {x}}}

4. \int {\dfrac{\sin{2x}}{1+\sin^2{x}}dx}

5. \int {\dfrac{x^2}{(x-1)^5}}dx

6. \int {e^x\left(1+\tan{x} + \tan^2{x}\right)}dx

7. \int {\dfrac{x^{11}}{(x^8+1)^2} dx}

Bài tập 6. Tính tích phân sau:

1. \int_{0}^{2\pi} {\sqrt{1+\sin{x}}} dx

2. \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} {\dfrac{dx}{a^2 \sin^2 {x} +b^2 \cos^2 {x}}} (ab \neq 0)

3. \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} {\dfrac{dx}{1+\tan^{\sqrt{2}}{x}}}

4. \int_{0}^{\infty} {\dfrac{dx}{(1+x^2)(1+x^{\alpha})}}

5. \int_{0}^{2\pi} {\sin{(2016x+\sin{x})}}dx

6. \int_{0}^{1} {\left[ bx+a(1-x) \right]^{\lambda} dx}

Bài tập 7. Tính tích phân sau:

1. \int {\dfrac{\sin{x}+\cos{x}}{\sqrt[3]{\sin{x}-\cos{x}}}dx}

2. \int {\dfrac{x+1}{x(1+xe^x)}dx}

3. \int_{0}^{1} {x\left(e^x+\sqrt{3x+1}\right)dx}

4. \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} {\dfrac{\sin{3x}}{1+\cos{x}}dx}

5. \int_{0}^{2} {\left|x^3-x\right|dx}

6. \int_{0}^{1} {(x-1)^2\ln{(x+1)}dx}

7. \int_{0}^{3} {\dfrac{xdx}{\sqrt{x+1} +\sqrt{5x+1}}}

8. \int_{0}^{1} {\dfrac{\ln{(1+x)}}{1+x^2}dx}

9. \int_{0}^{+\infty} {\dfrac{dx}{x\left(1+|\ln{x}|^4\right)}}

10. \int_{0}^{2} {x\sqrt{x+2}dx}

11. \int_{0}^{\pi}{\sqrt{1-\cos{2x}}dx}

12. \int_{0}^{1} {\dfrac{dx}{x^4+4x^2+3}}

13. \int_{1}^{2} {\dfrac{dx}{x+x^3}}

14. \int_{1}^{3} {\dfrac{x^2+1}{x^4+1}dx}

15. \int_{0}^{\dfrac{\pi}{4}} {\dfrac{\cos{x}-\sin{x}}{\sqrt{2+\sin{2x}}}dx}

16. \int_{0}^{1} {\dfrac{e^{\arctan{x}} + x\ln{(1+x^2)}}{1+x^2}dx}

17. \int_{e}^{e^2}{\left(\dfrac{1}{\ln^2{x}}-\dfrac{1}{\ln{x}}\right)dx}

18. \int_{0}^{\sqrt{3}}{\ln{(x+\sqrt{1+x^2})}dx}

19. \int_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{2}}{\dfrac{\sqrt{1+x^2}}{x^2}dx}

20. \int_{1}^{+\infty}{\dfrac{2x\ln{x}}{(1+x^2)^2}dx}

21. \int_{-\infty}^{+\infty}{\dfrac{dx}{(1+x^2)^2}}

22. \int_{0}^{+\infty}{\dfrac{dx}{(x^2+a^2)(x^2+b^2)}} (a>0, b>0)

Bài tập 8. Xét hình (H) giới hạn bởi các đường (P): y=(x+3)^2 và y=0, x=0 . Lập phương trình các đường thẳng đi qua điểm A(0;9) chia (H) thành ba phần bằng nhau.

Bài tập 9. Xác định a >0 sao cho diện tích S giới hạn bởi hai parabol y=\dfrac{4a^2-2ax-x^2}{1+a^4} và y=\dfrac{x^2}{1+a^4} có giá trị lớn nhất và tính giá trị đó.

hoan.ph

Leave a comment