[Giải tích III] Phương trình vi phân cấp 2 đặc biệt

Bài viết này sẽ giới thiệu đến các bạn một số dạng phương trình vi phân cấp 2 đặc biệt, hay – khó và cách giải của chúng.

1. Phương trình Cauchy – Euler

x^2y''+axy'+by=0

Cách giải: Đặt |x| = e^t \Rightarrow t = \ln|x| , thì ta có dt = \dfrac{dx}{x}

y'=\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{dt}.\dfrac{dt}{dx} = \dfrac{1}{x}.\dfrac{dy}{dt}

y'' =\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x}.\dfrac{dy}{dt}\right) = -\dfrac{1}{x^2}\dfrac{dy}{dt} + \dfrac{1}{x} \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dt}\right) \dfrac{dt}{dx} = -\dfrac{1}{x^2}\dfrac{dy}{dt}+\dfrac{1}{x^2}\dfrac{d^2y}{dt^2} 

Thay vào phương trình đã cho ta có: \dfrac{d^2y}{dt^2} + (a-1)\dfrac{dy}{dt} +by = 0 . Đây là phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng đã biết cách giải.

Ví dụ: Giải phương trình vi phân sau:

1. x^2y''+5xy'+13y=0

2. (2x+1)^2y''-4(2x+1)y'+8y=-8x-4

3. x^4y''+2x^2y'+n^2y=0 . Gợi ý: Đặt x = \dfrac{n}{t} .

2. Phương trình đưa về phương trình hệ số hằng

Dạng 1.

Phương trình:

y''+p(x)y'+q(x)y=0 \qquad (1)

Với điều kiện nào của phép đổi biến t = \varphi(x) thì đưa được (1) về phương trình với hệ số hằng?

Với phép đổi biến trên thì ta có:

y' = \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{dy}{dt}.\dfrac{dt}{dx} = \varphi'.\dfrac{dy}{dt}

y'' = \dfrac{d}{dx}\left(\varphi' .\dfrac{dy}{dt}\right) = \varphi''.\dfrac{dy}{dt} + \varphi'.\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dt}\right) \dfrac{dt}{dx} = \varphi''.\dfrac{dy}{dt} + (\varphi')^2.\dfrac{d^2y}{dt^2}

Thay vào phương trình (1) ta có:

\dfrac{d^2y}{dt^2} + \dfrac{p\varphi'+\varphi''}{(\varphi')^2}\dfrac{dy}{dt}+\dfrac{q}{(\varphi')^2}y=0 \qquad (1')

Theo đó, để (1′) là phương trình với hệ số hằng khi và chỉ khi:

\left\{\begin{matrix} \dfrac{q}{(\varphi')^2} = a\\ \\ \dfrac{p\varphi'+\varphi''}{(\varphi')^2}=b \end{matrix}\right. \qquad (a, b =const)

Ví dụ: Giải phương trình vi phân sau:

1. 2xy''+y'-2y=0

2. (1+x^2)^2y''+2x(1+x^2)y'+y=0

Dạng 2.

Phương trình:

y''+p(x)y'+q(x)y=0 \qquad (2)

Với điều kiện nào của phép đổi biến y=z.\alpha(x) thì đưa được phương trình (2) về một phương trình khuyết y' . Và khi nào thì phương trình này là phương trình hệ số hằng?

Với phép đổi biến như trên thì ta có:

y' = \alpha'.z + \alpha.z'

y'' = \alpha''.z+2\alpha'.z'+\alpha.z''

Thay vào phương trình (2) ta được:

\alpha.z''+(2\alpha'+p\alpha).z'+(\alpha''+p\alpha'+q\alpha).z=0

Chọn \alpha sao cho:

2\alpha' + p\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = e^{-\frac{1}{2}\int pdx} (*)

Khi đó, phương trình (2) sẽ đưa được về dạng: z'' + Q(x).z=0

với Q = \dfrac{\alpha''+p\alpha'+q\alpha}{\alpha} = -\dfrac{p'}{2} - \dfrac{p^2}{4} +q (**)

Khi đó, (*) là điều kiện phải tìm. Còn khi Q(x) ở (**) là hằng số thì phương trình (2) đưa được về hệ số hằng.

Ví dụ: Giải phương trình vi phân sau:

1. x^2y''+xy'+\left(x^2-\dfrac{1}{4}\right)y = 0

2. y''+\dfrac{2}{x}y'-a^2y=2 \quad (a>0)

Bài viết có tham khảo: Bài tập giải sẵn Giải tích II & III, tác giả: Trần Bình

hoan.ph

Leave a comment